深入理解计算机系统（二）—— 整数运算

这一章节涉及大量的数学推导，看起来会比较吃力。

2.3 整数运算

2.3.1 无符号加法

这个图看起来是比较抽象的，换个例子$1111 + 1111 = 11110$，这种情况就是溢出，也就是数值超出数据类型表示的范围，导致符号位或进位异常。

#include <stdio.h>
int main() {
    int a = 127;  // 01111111（补码）
    int b = 2;    // 00000010（补码）
    int c = a + b; // 01111111 + 00000010 = 10000001（-127，负溢出）
    printf("c = %d\n", c); // 输出：-127（错误结果）
    return 0;
}

在 C 语言中，并不会将溢出作为错误发出信号，但是有的时候，我们希望判断是否发生溢出。检测溢出的方法也较为简单，无符号数相加时，若结果小于其中一个加数，则必定发生溢出。因为无符号数的加法遵循模运算规则，溢出时结果会“回绕”到低位。

int uadd_ok(unsigned x, unsigned y) {
    unsigned sum = x + y;
    return sum >= x; // 若sum < x或y，说明溢出
}

2.3.2 补码相加

补码加法通过统一符号位和数值位的运算规则，简化了计算机硬件设计，同时通过溢出检测机制确保运算可靠性。其核心在于直接相加、忽略进位，并结合符号位分析处理溢出问题，如：

  0000 0101  (+5)
+ 1111 1101  (-3)
------------
  0000 0010  (+2)  // 结果正确，无溢出

溢出检测：符号位变化法：两个同号数相加结果符号位不同，或异号数相减结果符号位与被减数相同，则溢出

  0111 1000  (+120)
+ 0000 1010  (+10)
------------
  1000 0010  (-126)  // 溢出（结果符号位为1，但原操作数均为正）

int tadd_ok(int x, int y) {
    int sum = x + y;
    // 正溢出：x>0, y>0, sum<=0
    // 负溢出：x<0, y<0, sum>=0
    return !( (x > 0 && y > 0 && sum <= 0) || 
              (x < 0 && y < 0 && sum >= 0) );
}